Question

如图，已知△ABC，∠B的平分线交边AC于P，∠A的平分线交边BC于Q，如果过点P、Q、C的圆也过△ABC的内心R，且PQ=1，则PR的长等于

 

．

Answer 1

分析：连接CR，并延长交AB于T，可求得∠PRQ=

1

2

（∠A+∠B）+∠C，由P、Q、C、R四点共圆，得

1

2

（∠A+∠B）+2∠C=180°，从而求得PR的值．

解答：解：连接CR，并延长交AB于T，
则∠PRQ=∠PRC+∠CRQ=∠BRT+∠ART=

1

2

∠B+

1

2

∠C+

1

2

∠A+

1

2

∠C=

1

2

（∠A+∠B）+∠C，
∵P、Q、C、R四点共圆，
∴

1

2

（∠A+∠B）+2∠C=180°，

1

2

（∠A+∠B+∠C）+

3

2

∠C=180°，
∴∠C=60°，从而∠PRQ=120°，
∵R是内心，∴PR=QR，∴PR=

3

3

．
故答案为

3

3

．

点评：本题考查了三角形的内切圆和圆内接四边形的性质．