题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=3cm，AD=14cm，BC=10cm，动点P从D点
出发，沿DA方向以2cm/秒的速度运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，以PDCB为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t为何值时，以PCD为顶点的三角形是直角三角形；
（3）问：在点P的运动过程中，梯形内是否存在这样的点Q，使得过PQ的直线与BC相交且把梯形ABCD分成面积相等的两部分？若存在，请你用一句话概括出Q点的位置；否则说明理由．
分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=BC即可判断以PDCB为顶点的四边形是平行四边形．
（2）点P处可能为直角，点C处也可能是直角，而后根据勾股定理求解．
（3）只有过上下底中点的直线才可能把梯形分成面积相等的两部分，那么Q点一定在这条直线上．
（2）点P处可能为直角，点C处也可能是直角，而后根据勾股定理求解．
（3）只有过上下底中点的直线才可能把梯形分成面积相等的两部分，那么Q点一定在这条直线上．
解答：解：（1）当PD=BC=10时，四边形PDCB是平行四边形，∴2t=10，∴t=5．
∴当t=5时，四边形PDCB是平行四边形．
（2）过C作CE⊥AD于E，∴CE=AB=3．
ED=AD-BC=14-10=4．①当CP⊥AD，PD=4时，△PCD是直角三角形．2t=4，
∴t=2．②当CP⊥CD，设PE=x，CD=
=
=5，CP2=x2+32=（x+4）2-52，
∴8x=18，x=
．PD=4+
=
，∴2t=
，t=
=3.125．
∴当t=2或3.125时，△PCD是直角三角形．
（3）Q点是过对边中点直线的交点．
∴当t=5时，四边形PDCB是平行四边形．
（2）过C作CE⊥AD于E，∴CE=AB=3．
ED=AD-BC=14-10=4．①当CP⊥AD，PD=4时，△PCD是直角三角形．2t=4，
∴t=2．②当CP⊥CD，设PE=x，CD=
| CE2+ED2 |
| 32+42 |
∴8x=18，x=
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 8 |
∴当t=2或3.125时，△PCD是直角三角形．
（3）Q点是过对边中点直线的交点．
点评：本题用到的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意分情况讨论和常见知识的应用．
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