题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．
分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．
解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．
（2）Rt△ABC中，AC=
=8cm，
∵△ACD∽△BAC，∴
=
，
即
=
，解得：DC=6.4cm．
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，
∴△ACB∽△EGB，
∴
=
，即
=
，故EG=
t；
y=S△ABC-S△BEF
=
×6×8-
(10-2t)•
t=
t2-4t+24
=
(t-
)2+19；
故当t=
时，y的最小值为19．
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．
（2）Rt△ABC中，AC=
| AB2-BC2 |
∵△ACD∽△BAC，∴
| DC |
| AC |
| AC |
| AB |
即
| DC |
| 8 |
| 8 |
| 10 |
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，∴△ACB∽△EGB，
∴
| EG |
| AC |
| BE |
| AB |
| EG |
| 8 |
| t |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
y=S△ABC-S△BEF
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
故当t=
| 5 |
| 2 |
点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．
练习册系列答案
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