Question

【题目】已知抛物线（m为常数，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，），B（，），C（﹣m，）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；

（3）当1＜PH≤6时，试比较，，之间的大小．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标（，）；（2）k=3；（3）﹣1≤m＜或＜m≤时，有，＜m＜时，有．

【解析】

试题分析：（1）根据顶点坐标公式即可解决问题．

（2）列方程组根据△=0解决问题．

（3）首先证明，再根据点B的位置，分类讨论，①令＜﹣m﹣1，求出m的范围即可判断，②令=﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．

③令＞﹣m﹣1，求出m的范围即可判断，④令≤＜﹣m，求出m的范围即可判断，⑤令=﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．⑥令＞﹣m，求出m的范围即可判断．

试题解析：（1）∵=，=，∴顶点坐标（，）．

（2）由，消去y得，∵抛物线与x轴有且仅有一个公共点，∴△=0，即（k﹣3）m=0，∵无论m取何值，方程总是成立，∴k﹣3=0，∴k=3；

（3）PH==，∵1＜PH≤6，∴当＞0时，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，∴＜m≤，当＜0时，1＜≤6，又∵﹣1≤m≤4，∴﹣1≤m≤，∴﹣1≤m＜或＜m≤，∵A（﹣m﹣1，）在抛物线上，∴=﹣4m，∵C（﹣m，）在抛物线上，∴=﹣4m，∴；

①令＜﹣m﹣1，则有m＜，结合﹣1≤m≤，∴﹣1≤m＜，此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，∴，即当﹣1≤m＜时，有．

②令=﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．

③令＞﹣m﹣1，且≤时，有＜m≤，结合﹣1≤m＜，∴＜m≤，此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，∴，即当＜m≤时，有；

④令≤＜﹣m，有≤m＜0，结合﹣1≤m＜，∴≤m＜，此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，∴．

⑤令=﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．

⑥令＞﹣m，有m＞0，结合＜m≤，∴＜m≤，此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，∴，即当＜m≤时，有；

综上所述，﹣1≤m＜或＜m≤时，有，＜m＜时，有．