Question

观察下列各式：1×

1

2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
（1）猜想它的规律，把

1

n×(n+1)

（n为正整数）表示出来．
（2）用你得到的规律，计算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n(n+1)

，并求出当n=24时代数式的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到规律为

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）利用得出的规律将所求式子变形，抵消合并后，将n=24代入计算即可求出值．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）利用规律得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
当n=24时，原式=

24

25

．

点评：此题考查了分式的加减法，属于规律型试题，找出本题的规律是解本题的关键．