Question

如图，已知点A的坐标为（

3

，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是

相离

（填“相离”、“相切”或“相交”）．

Answer 1

分析：根据A点的坐标为（

3

，3）、AB=3BD，可以求得点D的坐标，从而得出反比例函数y=

k

x

解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案．

解答：解：∵已知点A的坐标为（

3

，3），AB=3BD，
∴OA=2

3

，AB=3，BD=1，
∴D点的坐标为（

3

，1），
∴反比例函数y=

k

x

解析式为：y=

3

x

，
设AO直线解析式为：y=k′x，
3=

3

k′，
∴k′=

3

，
∴y=

3

x．
则

y= 3 x y= 3 x

，
解得，

x=1 y= 3

，或

x=-1 y=- 3

（不合题意，舍去）
∴C（1，

3

），则OE=1，CE=

3

，
∴根据勾股定理知CO=2，
∴AC=2

3

-2．
∵AC-CE=2

3

-2-

3

=

3

-2＜0，
∴AC＜CE，
∴该圆与x轴的位置关系是相离．
故答案为：相离．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键．