Question

两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置，点B，A，D在同一条直线上．操作：在图中，用尺规作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F，连接CE．探究：线段BF，CE的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：操作如图①，结论：BF⊥CE，BF=

1

2

CE．如图②，设CE交BF于点N，交BD于点M．首先根据Rt△ABC≌Rt△EDA可以得到∠ABC=∠EDA=90°，AC=AE，∠1=∠2，又BC∥DE，利用平行线的性质得到∠BCE=∠DEC，接着利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质即可解决问题．

解答：操作如图①，（2分）
结论：BF⊥CE，BF=

1

2

CE．（2分）
证明：如图②，设CE交BF于点N，交BD于点M．
∵Rt△ABC≌Rt△EDA，
∴∠ABC=∠EDA=90°，AC=AE，∠1=∠2．
∵BC∥DE，∴∠BCE=∠DEC，
∵AC=AE，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠5=∠DEC，
∴∠5=∠BCE，
∵∠5+∠BCE=90°，
∴∠5=∠BCE=45°．
∵∠ABC的平分线为BF，
∴∠FBA=45°
∴∠5=∠DEC=∠DME=45°．
∴∠BCE=∠5=45°．
∴BC=BM．（2分）
又∵BF平分∠ABC，
∴MN=

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2

CM，BF⊥CE．（1分）
同理MG=

1

2

EM，
∴BF=DF=

1

2

CE（4分）

点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定、也考查了等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，要求学生要熟练掌握这些基础知识才能很好解决这些问题．