Question

如图，两个全等的Rt△ABC、Rt△EDC的直角顶点放置在一起，∠B=∠D=30°，AB与CD交于点M，ED与BC交于点N，AB与ED交于点F．
（1）求证：△ACM≌△ECN；
（2）当∠MCN=30°时，找出MD与MF的数量关系，并加以说明．

Answer 1

分析：（1）欲证△ACM≌△ECN，可先由Rt△ABC、Rt△EDC全等的关系得出∠A=∠E，AC=CE又由∠ACM=∠ECN=90°-∠MCN可得出∠ACM=∠ECN即可由ASA得证；
（2）可由各角之间的数量关系先求出∠MFD=90°，再由∠D=30°可得出MD=2MF的数量关系；

解答：（1）证明：∵∠B=∠D，
∴∠A=∠E，
又∵AC=EC，
∠ACM=∠ECN=90°-∠MCN
在△ACM和△ECN中

∠A=∠E AC=EC ∠ACM=∠ECN

，
∴△ACM≌△ECN（ASA）；

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，∠MCN=30°，
∴∠DMF=∠MCN+∠B=30°+30°=60°．
∵∠D=30°，
∴∠DFM=90°．
∴△MDF是直角三角形且∠D=30°．
∴MD=2MF．

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去判定．