Question

观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
由上面的规律：
（1）求2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
（2）求2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1的个位数字．
（3）你能用其它方法求出

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22010

+

1

22011

的值吗？

Answer 1

分析：（1）根据已知（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，得出原式=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）求出即可；
（2）根据已知（1）中所求，求出2ⁿ（n为自然数）的各位数字只能为2，4，8，6，且具有周期性，进而求出答案；
（3）根据已知得出1-

1

2

=

1

2

，

1

4

=

1

2

-

1

4

，

1

8

=

1

4

-

1

8

，进而求出即可．

解答：解：（1）由题可知：
原式=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁶-1=64-1=63；

（2）原式=（2-1）（2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1…）=2²⁰¹²-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，
∴2ⁿ（n为自然数）的各位数字只能为2，4，8，6，且具有周期性．
∴2012÷4=503×4，
∴2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1的个位数字是6-1=5；

（3）设S=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22010

+

1

22011

，
则2S=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22010

，
所以，S=1-

1

22011

．

点评：此题主要考查了数字的变化规律；根据已知得出数字变化与不变是解决本题的突破点．