Question

如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的

1

3

．
（1）求点D的坐标；
（2）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．
①求证：OF=OG；
②求点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作DH⊥AB于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ABC=45°，由三角形的面积公式就可以求出DH的值，就可以求出BH的值，从而求出D的坐标；
（2）①根据OA=OC，再根据直角三角形的性质就可以得出△AOG≌△COF，就可以得出OF=OG；
②由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐标．
（3）根据条件作出图形图1，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M，由△PHC≌△PMF就可以得出结论，图2，作PH⊥OB于H，由△COF≌△PHF就可以得出结论，图3，作PH⊥OC于H，由△COF≌△PHC就可以得出结论．

解答：解：（1）作DH⊥AB于H，
∴∠AHD=∠BHD=90°．
∵OA=OB=OC=6，
∴AB=12，
∴S△ABC=

6×12

2

=36，
∵△ABD的面积为△ABC面积的

1

3

．
∴

1

3

×36=

12DH

2

，
∴DH=2．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC．
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴∠HDB=45°，
∴∠HDB=∠DBH，
∴DH=BH．
∴BH=2．
∴OH=4，
∴D（4，2）；
（2）①∵CE⊥AD，
∴∠CEG=∠AEF=90°，
∵∠AOC=∠COF=90°，
∴∠COF=∠AEF=90°
∴∠AFC+∠FAG=90°，∠AFC+∠OCF=90°，
∴∠FAG=∠OCF．
在△AOG和△COF中

∠AOG=∠COF OA=OC ∠FAG=∠OCF

，
∴△AOG≌△COF（ASA），
∴OF=OG；
②∵∠AOG=∠AHD=90°，
∴OG∥DH，
∴△AOG∽△AHD，
∴

AO

AH

=

OG

DH

，
∴

6

10

=

OG

2

，
∴OG=1.2．
∴OF=1.2．
∴F（1.2，0）
（3）如图1，当∠CPF=90°，PC=PF时，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M
∴∠PHC=∠PHO=∠PMO=∠PMB=90°．
∵∠BOC=90°，
∴四边形OMPH是矩形，
∴∠HPM=90°，
∴∠HPF+∠MPF=90°．
∵∠CPF=90°，
∴∠CPH+∠HPF=90°．
∵∠CPH=∠FPM．
在△PHC和△PMF中

∠CPH=∠FPM ∠CHP=∠FMP CP=FP

，
∴△PHC≌△PMF（AAS），
∴CH=FM．HP=PM，
∴矩形HPMO是正方形，
∴HO=MO=HP=PM．
∵CO=OB，
∴CO-OH=OB-OM，
∴CH=MB，
∴FM=MB．
∵OF=1.2，
∴FB=4.8，
∴FM=2.4，
∴OM=3.6
∴PM=3.6，
∴P（3.6，3.6）；
图2，当∠CFP=90°，PF=CF时，作PH⊥OB于H，
∴∠OFC+∠PFH=90°，∠PHF=90°，
∴∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠OFC=∠HPF．
∵∠COF=90°，
∴∠COF=∠FHP．
在△COF和△PHF中

∠COF=∠FHP ∠OFC=∠HPF CF=FP

，
∴△COF≌△PHF（AAS），
∴OF=HP，CO=FH，
∴HP=1.2，FH=6，
∴OH=7.2，
∴P（7.2，1.2）；
图3，当∠FCP=90°，PC=CF时，作PH⊥OC于H，
∴∠CHP=90°，
∴∠HCP+∠HPC=90°．
∵∠FCP=90°，
∴∠HCP+∠OCF=90°，
∴∠OCF=∠HCP．
∵∠FOC=90°，
∴∠FOC=∠CHP．
在△COF和△PHC中

∠OCF=∠HCP ∠FOC=∠CHP CF=PC

，
∴△COF≌△PHC（AAS），
∴OF=HC，OC=HP，
∴HC=1.2，HP=6，
∴HO=7.2，
∴P（6，7.2），
∴P（6，7.2），（7.2，1.2），（3.6，3.6）．

点评：本题考查了坐标与图象的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时求三角形全等是关键．