Question

设正方形ABCD的边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边长为a₁=1，按上述方法作出的正方形的边长依次为a₂，a₃，a₄，…，a_n，请求出a₂，a₃，a₄的值；根据以上规律写出a_n的表达式

a_n=（

2

）^n-1

．

Answer 1

分析：根据第一个正方形的边长为1可以求得第二个正方形的边长，以此类推可以求得正方形的边长满足一定的规律，根据次规律可以求得第n个正方形的边长．

解答：解：∵正方形ABCD的边长为1的正方形，
∴a₁=1=（

2

）0，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC=

2

，
∴a₂=

12+12

=

2

，
同理可得
a₃=

( 2 )2+( 2 )2

=2=（

2

）²
a₄=

(2)2+(2)2

=2

2

=（

2

）³，
…
∴a_n=（

2

）^n-1．
故答案为：2^n-1．

点评：本题考查了正方形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是根据正方形的性质及勾股定理总结出正方形的边长满足的规律．