Question

在直角坐标系中，抛物线y=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

与x轴交于A，B两点，已知点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且BO=2AO，点C为抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式和经过B，C两点的直线的解析式；
（2）点P在此抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴、直线BC都相切．求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

与x轴交于A，B两点，且A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且BO=2AO．故设A点的坐标为（-a，0），则B点的坐标为（2a，0），其中a＞0．令y=0，那么抛物线的解析式就变成关于x的一元二次方程的解，两个解分别是-a、2a．利用根与系数的关系写出

-a+2a= - 2 9 m - 4 9 -a•2a= 5 9 m+ 4 3 - 4 9

，解得a、m的值．抛物线解析式确定，并写出顶点式，C点的坐标值即可确定．根据两点B、C的坐标值，求出直线BC的解析式．
（2）首先根据点P在此抛物线的对称轴上，故设P点的坐标为（1，k）．利用三角形的面积公式与观察图形，求得PM的值，根据NP=PM求得P点的坐标值．

解答：解：（1）设A点的坐标为（-a，0），则B点的坐标为（2a，0），其中a＞0．
由题意得一元二次方程0=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

，
那么

-a+2a= - 2 9 m - 4 9 -a•2a= 5 9 m+ 4 3 - 4 9

?2m²-5m-12=0，
解得m=-

3

2

（不合题意舍去），
m=4，则a=2，
∴此抛物线的解析式为y=

4

9

(x-1)2-4，
B点的坐标为（4，0）、C点的坐标为（1，-4），
∴经过B，C两点的直线的解析式为y-0=

-4-0

1-4

(x-4)，
即y=

4

3

x-

16

3

；

（2）∵点P在此抛物线的对称轴上，故设P点的坐标为（1，k），
设⊙P与x轴、直线BC分别相切于点N、M，连接PB、PM，
在△PBC中，BC=

NB2+NC2

=

32+42

=5，
S△PBC=

1

2

PC•NB=

1

2

BC•PM，
即PM=

[k-(-4)]•3

5

，
∵PM、NP均为圆P的半径，
∴|k|=

(k+4)•3

5

，
解得k=6（不合题意舍去），k=-

3

2

，
∴P点的坐标为(1，-

3

2

)．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．