Question

已知：关于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为

5

时，求k的值．

Answer 1

（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，
即2k-3≥0，
∴k≥

3

2

∴当k≥

3

2

，方程有两个实数根．

（2）由题意得：

x1+x2=k+1 x1x2= 1 4 k2+1

，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．