Question

已知关于x的一元二次方程：mx²-（4m+1）x+3m+3=0．
（1）求证：方程总有两个实根；
（2）若m是整数，方程的根也是整数，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）根据题意m≠0，则计算判别式有△=（2m-1）²≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果；
（2）利用求根公式得到x₁=3，x₂=1+

1

m

，而方程的两个实数根都是整数，且m为整数，然后根据整数的整除性即可得到m的值．

解答：（1）证明：∵方程mx²-（4m+1）x+3m+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m≠0，
∵△=（4m+1）²-4m×（3m+3）=（2m-1）²≥0，
∴此方程总有两个实数根；

（2）解：方程的两个实数根为x=

4m+1±(2m-1)

2m

，
∴x₁=3，x₂=1+

1

m

，
∵m是整数，方程的根也是整数，
∴m=±1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．