Question

【题目】直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A．

（1）求此抛物线及直线AC的函数表达式；

（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（，），Q（，），与直线BC交于点，N（，），若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围；

（3）经过点D（0，1）的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时， 是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）=； ；（2）1＜＜2；（3）为定值3．

【解析】（1）先求得直线y=-x+3与x轴、y轴的交点B、C的坐标，代入入求得a、k的值，即可得抛物线的函数表达式；令y=0，求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线AC的函数表达式即可；（2）根据题意可得y1=y2，即可得x1+x2=2；当直线l1经过点C时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2经过顶点（1，4）时，直线BC的解析式为，y=4时，x=﹣1, 此时，x1=x2=1，x3=﹣1，此时x1+x3+x2=1;当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，即可得1<<2；（3）为定值3，设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，所以点N的坐标为（，0）．所以AN=+1=即可得=;将y=3x+3与y=kx+1联立解得：x=．求得点M的横坐标为． 过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG==．再由△MAG∽△CAO,根据相似三角形的性质可得,,==，由此可得=+==3.

（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，

∴B(3，0)，C（0，3）；

把B(3，0)，C（0，3）代入得，

，

解得 ，

∴抛物线函数表达式为=；

令y=0，可得=0，解得x1=-1，x2=3；

∴A（-1，0）；

设AC的解析式为y=kx+b，

，

解得，

∴直线AC的函数表达式为；

（2）∵y1=y2，∴x1+x2=2．

当直线l1经过点C时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，

当直线l2经过顶点（1，4）时，直线BC的解析式为，y=4时，x=﹣1, 此时，x1=x2=1，x3=﹣1，此时x1+x3+x2=1;当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2 ,

∴1<<2．

(3)为定值3．

理由如下：设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，

∴点N的坐标为（，0）．∴AN=+1=,=;

将y=3x+3与y=kx+1联立解得：x=．∴点M的横坐标为．

过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG==．

∵△MAG∽△CAO,∴,

∴,==

∴=+==3.