题目内容
已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；
（2）
| CD2 |
| BC2 |
| AD |
| AB |
分析：（1）由AD2=AE•AC，易证得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易证得∠ECD=∠B，则可证得△BCD∽△CDE；
（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
=
，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得
=
，继而得到结论．
（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
| CD |
| BC |
| DE |
| CD |
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
解答：证明：（1）∵AD2=AE•AC，
∴
=
，
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；
（2）∵△BCD∽△CDE，
∴
=
，
∴DE=
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
．
∴
| AD |
| AE |
| AC |
| AD |
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；
（2）∵△BCD∽△CDE，
∴
| CD |
| BC |
| DE |
| CD |
∴DE=
| CD2 |
| BC |
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
∴
| CD2 |
| BC2 |
| AD |
| AB |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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