Question

如图，将边长为

1+n

2

（n=1，2，3…）的正方形纸片从左到右顺序摆放，其对应的正方形的中心依次为A₁、A₂、A₃…①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为

 

；②若摆放前n个（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为

 

．

Answer 1

分析：①过A₁作A₁A⊥EF于A，A₁D⊥FG于D，根据正方形的性质推出∴∠A₁AB=∠A₁DC=∠EFG=90°，A₁A=A₁D，求出∠AA₁B=∠DA_AC，证△BAA₁≌△CDA₁，得到AB=DC，求出虚线部分的线段之和是1，依次求出其它虚线之和，相加即可；
②根据①的结论求出

1

2

×（2+3+4+…+n）即可．

解答：①解：过A₁作A₁A⊥EF于A，A₁D⊥FG于D，
∵正方形EFGH，
∴∠A₁AB=∠A₁DC=∠EFG=90°，A₁A=A₁D，
∴∠AA₁D=∠BA₁C=90°，
∴∠AA₁B=∠DA_AC，
∴△BAA₁≌△CDA₁，
∴AB=DC，
∴BF+FC=FA+FD=

1+1

2

=1，
同理第2个虚线之和是

1+2

2

=

3

2

，
同理第3个虚线之和是2，
同理第4个虚线之和是

5

2

同理第5个虚线之和是3，
∴1+

3

2

+2+

5

2

+3=

1

2

×（2+3+4+5+6）=10，
②若摆放前n个（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为

1

2

×（2+3+4+…+n-1）=

n2+n-2

4

，
故答案为：10，

n2+n-2

4

．

点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，能求出各个虚线的长度是解此题的关键．