Question

【题目】如图，直线交y轴于点C，交x轴于点D，直线经过点A(4，0)，且两直线交于点B(2，m).

(1)求m的值和直线的函数表达式；

(2)直线在第一象限内的部分有一点E，且，求出点E的坐标，并在y轴上找一点P，使得BP+PE的值最小，求出P的坐标和这个最小值；

(3)在(2)的条件下，若点Q为y轴上一点，且△BPQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标.

Answer 1

【答案】（1），；（2）E(6，2) ，P(0，-1)，最小值为：；（3）点Q的坐标为或或（0，－3）或（0，）.

【解析】

（1）首先易求m的值，得到B点坐标，然后用待定系数法求直线的函数表达式即可；

（2）求出D（1，0），得出AD＝3，根据且点E在第一象限内的直线上，可得E点纵坐标为2，进而得到E（6，2），作点B(2，-2)关于y轴的对称点B1(-2，-2)，连接B1E交y轴于点P，此时B1P+PE最小，用两点间距离公式可求这个最小值，然后再用待定系数法求出直线B1E的解析式，进而可得P的坐标；

（3）分三种情况：①当BP＝PQ时，求出BP，即可得到点Q坐标；②当BP＝BQ时，则点B在线段PQ的垂直平分线上，进而得到点Q坐标；③当BQ＝PQ时，可根据两点间距离公式列方程求出点Q坐标.

解：（1）∵点B(2，m)在直线上，

∴，

∴B(2，-2)，

设直线，

∵A(4，0)，B(2，-2)在直线上，

∴，解得：，

∴直线的函数表达式为：；

（2）令-2x+2=0，解得 x=1，

∴D(1，0)，

∵A(4，0)，B(2，-2)，

∴AD=3，

由条件设E(a，b)，

∵，

∴，

∵E(a，b)在第一象限内的直线上，

∴b=2，

∴a=6，即E(6，2) ，

作点B(2，-2)关于y轴的对称点B1(-2，-2)，连接B1E交y轴于点P，此时BP+PE最小，

最小值为，

设直线B1E的解析式为y=kx+b，

则，解得：，

∴直线B1E的解析式为，

当x=0时，y=－1，

∴P(0，-1)；

（3）由题意得：B(2，-2)，P(0，-1)，△BPQ为等腰三角形，

①当BP＝PQ时，

∵，

∴点Q纵坐标为或，

∴点Q坐标为：或；

②当BP＝BQ时，则点B在线段PQ的垂直平分线上，易得点Q纵坐标为－3，

∴点Q坐标为：（0，－3）；

③当BQ＝PQ时，设点Q坐标为（0，n），

则，

解得：，

∴点Q坐标为：（0，），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或（0，－3）或（0，）.