Question

【题目】如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）求证：AB=AC；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①5或6；②9或10或.

【解析】试题分析：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，由勾股定理得：AC＝5x，AB＝5x，AB＝AC，从而得到△ABC是等腰三角形；

（2）＝40cm2，得到x＝2cm，从而得到BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．分两种情况讨论：

①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN，分别求出t的值；

②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；

当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形；

当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．DE＝DM；ED＝EM；MD＝ME，分别求出t的值．

试题解析：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，（x＞0）在Rt△ACD中，AC＝5x，另AB＝5x，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．

①当MN∥BC时，AM＝AN，即10－t＝t，∴t＝5；

当DN∥BC时，AD＝AN，有 t＝6；

故若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；

②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；

当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形；

当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．

如果DE＝DM，则t－4＝5，∴t＝9；

如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；

如果MD＝ME＝t－4，则，∴t＝．

综上所述，符合要求的t值为9或10或．