Question

如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D是BC边的中点，以AD上一点O为圆心的圆与AB，BC都相切，则⊙O的半径为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．
解答：解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得
BC=8；
又∵D是BC边的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×0E=4×6，
解得，OE=，
∴⊙O的半径是；
故选A．
点评：本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．