Question

5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=$\frac{1}{2}$∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°
即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．

解答 解：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，点E是点D关于AB的对称点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BE}$，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD=$\frac{1}{3}×180°$=60°，∴①正确；
∠CED=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}×60°$=30°=$\frac{1}{2}∠DOB$，∴②正确；
∵$\widehat{BE}$的度数是60°，
∴$\widehat{AE}$的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；

做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$=$\widehat{AF}$，并且弧的度数都是60°，
∴∠D=$\frac{1}{2}×120°$=60°，∠CFD=$\frac{1}{2}×60°$=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．