题目内容

直角坐标系中，点A（0，0），B（2，0），C（0，2 $数学公式$ ），若有一三角形与△ABC全等，且有一条边与BC重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是________．

（2，2 $\text{[math]}$ ）或（3， $\text{[math]}$ ）或（-1， $\text{[math]}$ ）
分析：由A（0，0），B（2，0），C（0，2 $\text{[math]}$ ），可知∠ABC=60°．
因此存在三种情况：
当另一是点D，当△ABC≌△D₂BC时，点D的坐标是（3， $\text{[math]}$ ）；
当△ABC≌△D₁CB时，D的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ）；
当△ABC≌△D₃CB时，当D在直线BC的下面时，D的坐标是（-1， $\text{[math]}$ ）．
解答：

解：∵A（0，0），B（2，0），C（0，2 $\text{[math]}$ ），
∴∠ABC=60°
分三种情况进行讨论：
（1）当另一是点D，当△ABC≌△D₂BC时，点A与点D关于BC对称，过点D作DE⊥AB于点E，∴BE=1，AE=1+2=3，D₂E=2×sin60°= $\text{[math]}$ ，∴D₂的坐标是（3， $\text{[math]}$ ）；
（2）当△ABC≌△D₁CB时，当D₁在直线BC的上面时，则四边形ABDC是矩形，因而D的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ）；
（3）当△ABC≌△DCB时，当D₃在直线BC的下面时，过D作D₃F⊥x轴，则AF=1，DF= $\text{[math]}$ ，∴D的坐标是（-1， $\text{[math]}$ ）．
∴这个三角形的另一个顶点坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ）或（3， $\text{[math]}$ ）或（-1， $\text{[math]}$ ）
点评：本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质；解题就是根据全等三角形的性质，把求点的坐标的问题转化为求线段的长的问题，分类讨论是正确解答本题的关键．