Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+2x+m²+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）直接把A点坐标代入y=mx²+2x+m²+2中可得到满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到B（-1，0），C（0，3），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（3）利用两直线平行得到y=3x+n，再计算出此直线过C点时n=-9，由于n＜0，且直线y=3x+n与图形G恰有一个公共点，所以只能把直线y=3x-9向下平移才能满足条件，则n＜-9．

解答：解：（1）把A（0，3）代入y=mx²+2x+m²+2得m²+2=3，解得m₁=1，m₂=-1，
而抛物线开口向下，
所以m=-1，
所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则B（-1，0），C（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，3），B（-1，0）分别代入得

k=3 b=3

，
所以直线AB的解析式为y=3x+3；
（3）∵直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，
∴k=3，
当y=3x+n过点C（3，0）时，n=-9，
∵n＜0，且直线y=3x+n与图形G恰有一个公共点，
∴n＜-9．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．