题目内容

如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB₁C的两个顶点，以对角线OB₁为一边作第1个正方形OB₁B₂C₁，再以对角线OB₂为一边作第2个正方形OB₂B₃C₂，…依次下去，则：
（1）第1个正方形的边长=；
（2）第10个正方形的边长=．

解：（1）∵四边形OBB₁C是正方形，
∴OC=OB=CB₁．．
∵O（0，0），B（0，1），
∴OB=1，
在Rt△OBB1中由勾股定理得：
OB₁= $\text{[math]}$ ，
∴第1个正方形的边长为： $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）关键勾股定理可以得出：
第 2个正方形的边长为：2=（ $\text{[math]}$ ）²，
第 3个正方形的边长为：2 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）³，
第4个正方形的边长为：4=（ $\text{[math]}$ ）⁴，
…
第 n个正方形的边长为：（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
∴当n=10时，（ $\text{[math]}$ ）¹⁰=32，
故答案为： $\text{[math]}$ ，32．
分析：（1）直接利用等腰直角三角形的性质和勾股定理就可以求出第1个正方形的边长；
（2）由（1）依次可以求出第2个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2 $\text{[math]}$ ，第四个正方形的边长为4，依此类推就可以求出第n个正方形的边长．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时通过从特殊到一般的方法求出第n的一个正方形的边长的表达式是关键．