Question

如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？
（3）在（1）、（2）的条件下当BE+CF=时，求证：AD=BD×CD．

Answer 1

解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF为菱形，则只需一组邻边相等或对角线互相垂直即可，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF为菱形．
（2）要使四边形AEDF为正方形，则只需在菱形的基础上，再加一角为直角即可，故△ABC为直角三角形即可满足条件．
（3）由（1）、（2）可得，四边形AEDF为正方形，即在直角三角形BED中，根据勾股定理得：BD²=BE²+DE²，同理CD²=DF²+CF²，
又AD=AE=（BE+CF）×AE=BE×AE+CF×AE=BE×ED+CF×FD，
又（BE+ED）²=AB²，（CF+FD）²=AC²，
又三角形ABC中，根据勾股定理得：AB²+AC²=（BD+CD）²，
即（BE+ED）²+（CF+FD）²=（BD+CD）²，
整理得：BE²+DE²+2BE×ED+DF²+CF²+2CF×FD=BD²+CD²+2BD×CD，
即2（BE×ED+CF×FD）=2BD×CD，
∴BE×ED+CF×FD=BD×CD，
即AD=BD×CD．