Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，△CEF与△ABE的面积比为（　　）

• A、3：2
• B、2：1
• C、5：3
• D、无法确定

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：易证Rt△ABE≌Rt△ADF，从而得到BE=DF，进而得到CE=CF．设BE=x，CE=y，在Rt△ABE中，运用勾股定理就可得到2x²+2xy=y²．从而可以求出△CEF与△ABE的面积比．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=DC=AD，AE=AF=EF．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AD AE=AF

．
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．
∴CE=CF．
设BE=x，CE=y，
则CF=CE=y，AB=BC=x+y，AE=EF=

2

y．
在Rt△ABE中，
∵∠B=90°，AB=x+y，BE=x，AE=

2

y，
∴（x+y）²+x²=（

2

y）²．
整理得：2x²+2xy=y²．
∴S_△CEF：S_△ABE
=（

1

2

CE•CF）：（

1

2

AB•BE）
=（CE•CF）：（AB•BE）
=y²：[（x+y）x]
=（2x²+2xy）：（x²+xy）
=2：1．
故选：B．

点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，而采用整体思想（把x²+xy看成一个整体）是解决本题的关键．