Question

已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x-1，且一次函数的图象经过（a，b）和（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若直线y=2x-1上有一点A（1，c），则点A在y=

k

2x

上吗？说明理由．
（3）利用（2）的结果，说明在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，直接写出P点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先把（a，b）和（a+1，b+k）代入一次函数y=2x-1求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）把点A（1，c）代入直线y=2x-1即可得出点A的坐标，再代入反比例函数y=

k

2x

进行检验即可；
（3）先根据勾股定理计算出OA的长，再过A点作AP₁⊥x轴，则△OAP₁为等腰三角形；作点O关于AP₁的对称点P₂，则△OAP₂为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P₃，P₄，则△OAP₃、△OAP₄为等腰三角形；然后利用线段长分别确定各点坐标．

解答：解：（1）∵一次函数y=2x-1的图象经过（a，b）和（a+1，b+k）两点，
∴

2a-1=b 2(a+1)-1=b+k

，解得k=2，
∴反比例函数y=

k

2x

的解析式为y=

1

x

；

（2）在．
∵点A（1，c）在直线y=2x-1上，
∴c=2-1=1，
∴A（1，1），
∵当x=1时，y=

1

1

=1，
∴点A在反比例函数y=

1

x

的图象上；

（3）A点作AP₁⊥x轴，则△OAP₁为等腰三角形；作点O关于AP₁的对称点P₂，则△OAP₂为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P₃，P₄，则△OAP₃、△OAP₄为等腰三角形；
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，OP₁=1，
∴P₁（1，0），P₂（2，0）；P₃（

2

，0）、P₄（-

2

，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质；运用分类讨论的思想解决问题．