Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时，一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E，易得∠A=∠D=90°，∠APE=∠PCD，继而证得△CDP与△PAE相似；
（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=AD-DP=11-x，由相似三角形的周长比等于相似比，易得

6

11-x

=2，继而求得答案．

解答：解：（1）△CDP∽△PAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+CPD=90°，
∵∠CPE=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠APE=∠PCD，
∴△CDP∽△PAE；

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=AD-DP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
∴

CD

AP

=2，
∴

6

11-x

=2，
解得：x=8，
∴AP=3，AE=4，
即DP=8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．