Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP

（1）求证：△ADE≌△CDF；

（2）求证：△ADP∽△BDF；

（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1，

【解析】

（1）根据SAS证明即可；

（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；

（3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，

∵AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠FCH＝45°，

∵AB∥FH，

∴∠HFC＝∠ABC＝90°，

∴∠FCH＝∠H＝45°，

∴CF＝FH＝AE，

∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，

∴△APE≌△HPF（AAS），

∴PE＝PF，

∵△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵EP＝PF，

∴∠EDP＝∠FDP＝45°，

∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，

∴∠ADP＝∠BDF，

∵∠DAP＝∠DBF＝45°，

∴△ADP∽△BDF；

（3）如图2中，作PH⊥BC于H．

∵∠ACB＝45°，PC＝，

∴PH＝CH＝1．

由（2）得：BE＝PE＝PF，

∴BE＝EF，

∴∠BFE＝30°，

∴PF＝2，

∴HF＝，

∴CF＝﹣1，