Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系？并说明理由；
（2）若⊙O的半径为

3

，DE=3，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）直线DE与⊙相切．根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．

解答：解：（1）直线DE与⊙相切．理由如下：
连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DE=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵∠ABC=90°，AB=2

3

，BC=2DE=6，
∴AC=4

3

．
∴BE=3．
∴AE=

3

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．