Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x²向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）²+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到h、k的值；
（2）根据（1）题所得的抛物线的解析式，即可得到A、C、D的坐标，进而可求出AC、AD、CD的长，然后再判断△ACD的形状；
（3）易求得B点的坐标，即可得到AB、AC、OA的长；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若两三角形相似，可考虑两种情况：
①∠AOM=∠ABC，此时OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此时△AOM∽△ACB；
根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出AM的长，进而可根据∠BAC的度数求出M点的横、纵坐标，即可得到M点的坐标．

解答：解：（1）∵y=x²的顶点坐标为（0，0），
∴y=（x-h）²+k的顶点坐标D（-1，-4），
∴h=-1，k=-4 （3分）

（2）由（1）得y=（x+1）²-4
当y=0时，
（x+1）²-4=0
x₁=-3，x₂=1
∴A（-3，0），B（1，0）（1分）
当x=0时，y=（x+1）²-4=（0+1）²-4=-3
∴C点坐标为（0，-3）
又∵顶点坐标D（-1，-4）（1分）
作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中，AD²=2²+4²=20
在Rt△AOC中，AC²=3²+3²=18
在Rt△CFD中，CD²=1²+1²=2
∵AC²+CD²=AD²
∴△ACD是直角三角形；

（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°；
连接OM，过M点作MG⊥AB于点G，
AC=

18

=3

2

①若△AOM∽△ABC，则

AO

AB

=

AM

AC

，
即

3

4

=

AM

3 2

，AM=

3×3 2

4

=

9 2

4

∵MG⊥AB
∴AG²+MG²=AM²
∴AG=MG=

( 9 2 4 )2 2

=

81 16

=

9

4

OG=AO-AG=3-

9

4

=

3

4

∵M点在第三象限
∴M（-

3

4

，-

9

4

）；
②若△AOM∽△ACB，则

AO

AC

=

AM

AB

，
即

3

3 2

=

AM

4

，AM=

3×4

3 2

=2

2

∴AG=MG=

AM2 2

=

(2 2 )2 2

=2
OG=AO-AG=3-2=1
∵M点在第三象限
∴M（-1，-2）．
综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为（-

3

4

，-

9

4

），（-1，-2）．

点评：此题考查了二次函数图象的平移、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性质；需注意的是（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下要分类讨论，以免漏解．