题目内容
如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为
| 3 |
分析：（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
解答：
解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2
，BC=2DE=6，
∴AC=4
．
∴BE=3．
∴AE=
；
法2：∵AC=
=
=4
（8分）
∴BE=
=
=3（10分）
∴AE=
=
=
．（12分）
解：（1）证明：连接OE，BE，∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2
| 3 |
∴AC=4
| 3 |
∴BE=3．
∴AE=
| 3 |
法2：∵AC=
| AB2+BC2 |
(2
|
| 3 |
∴BE=
| AB•BC |
| AC |
2
| ||
4
|
∴AE=
| AB2-BE2 |
| 12-9 |
| 3 |
点评：此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．
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| ||
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|
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