Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

（1）求证：BC=CD；

（2）求证：∠ADE=∠ABD；

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：从切线的性质出发，通过切线与弦所夹的角与弧弦夹角相等，即得到∠CDB=∠CBA；由切线的性质而求得．

试题解析：（1）证明：∵∠ABC=90°，

∴OB⊥BC

∵OB是⊙O的半径，

∴CB为⊙O的切线．

又∵CD切⊙O于点D，

∴BC=CD；

（2）证明：∵BE是⊙O的直径，

∴∠BDE=90°．

∴∠ADE+∠CDB=90°．

又∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°．

由（1）得BC=CD，

∴∠CDB=∠CBD、

∴∠ADE=∠ABD；

考点：切线的判定与性质．