Question

如图，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，在BD上有一动点G以每秒1个单位的速度从点D出发至点B，以G为直角顶点作等腰Rt△EFG，使得GE∥AD，GF∥AB，且GE=6．
（1）线段BD的长度是________；
（2）点G在运动过程中，求出矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式及其自变量取值范围．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD===20，
故答案为：20．

（2）①如图，当点E在AB上时，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴，
∴，
解得t=10，
∴当0≤t≤10时，
S=，
②如图，当点F在BC上时，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
解得t=12.5，
∴当10＜t≤12.5时，
S=18-=，
③如图，当点E、F均在矩形ABCD外侧，
且EF与BD有交点时，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴，
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴，
∴，
令MG=x，则GK=6-x，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当12.5＜t≤（当t=时，EF过B点）时，
S=，
=，
④当EF与BD没有交点时，
即＜t≤20时，
S=GM•GK==，
答：矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式是s=18（0≤t≤10）或s=（10＜t≤12.5）或
S=（12.5＜t≤）或S=（＜t≤20）．
分析：（1）根据矩形的性质得到∠A=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）有4种情况①当点E在AB上时，根据△BEG∽△BAD得出，求出t=10，当0≤t≤10时s=18；②当点F在BC上时，由△BFG∽△BCD，得出比例式即可求出t=12.5，当10＜t≤12.5时，S=18-，③当点E、F均在矩形ABCD外侧，且EF与BD有交点时，由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD，推出，令MG=x，则KG=6-x，，求出x，进一步求出t，当12.5＜t≤时，S=，④如图，当EF与BD没有交点时，即＜t≤20时，S=GM•GK，代入求出即可．
点评：本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．