Question

【题目】已知，如图1，抛物线过三点，顶点为点，连接，点为抛物线对称轴上一点，连接，直线过点两点．

（1）求抛物线及直线的函数解析式；

（2）求的最小值；

（3）求证：∽；

（4）如图2，若点是在抛物线上且位于第一象限内的一动点，请直接写出面积的最大值及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）详见解析；（4）（4），此时．

【解析】

（1）根据A，B坐标用两点式设出抛物线解析式，再把C点坐标代入，求出解析式，然后再根据B，C坐标求出直线的函数解析式即可；

（2）关于抛物线的对称轴对称，则当的值最小时，直线与抛物线的对称轴的交点即为点，此时，根据B，C坐标求出BC长即可；

（3）作轴于点，设抛物线的对称轴与轴交于点，求出CD和AC长，得到，即可证明；

（4）设M点为，则N点为，表示出△MBC的面积，求出最大值即可.

（1）∵抛物线过，

∴可设抛物线的函数解析式为，

把代入得，，

，

∴抛物线的解析式为，

把代入得，

，

解得，，

∴直线的解析式为；

（2）关于抛物线的对称轴对称，

∴当的值最小时，直线与抛物线的对称轴的交点即为点，

∴此时，

，

∴的最小值是；

（3）如图3，作轴于点，设抛物线的对称轴与轴交于点，

∵抛物线的对称轴为直线，

∴把代入得，

∴，

，，

又，

，

，

∽；

（4）过点M作MN⊥x轴，交CB于点N，

∵M在抛物线上，N在CB上，

∴设M点为，则N点为，

则

则当时，有最大值，

此时．