Question

如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；
（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连接MN．设△MON的面积为S_△MON，△AOB的面积为S_△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M，
①当直线AD与⊙M相切时，试探求S_△MON与S_△AOB之间的关系．
②当S_△MON=S_△AOB时，试判断直线AD与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）r==-1
则P的坐标是：（3-，-1）；

（2）①当AO与⊙M相切时，过M作MN⊥AO于点H，则MH=OM，此时，点H与点A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴=（）²=（）²=；
②∵S_△AMN=S_△AOB=S_△ACD，
∴=，
∵由（2）不难得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴===，
∵设OM=x，BN=x，NO=4-x，
∴=，
解得：x₁=，x₂=，
∴当x=时，OM=，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直线AD与⊙M相交，
当x=时，MO=，NO=3，
∴NM==，
∴AM=，
∵＞，
∴直线AD与⊙M相离．
分析：（1）利用直角三角形内切圆半径求法直接得出即可；
（2）①利用切线的性质得出△AMN∽△ACD，进而得出=（）²=（）²=；
②根据相似三角形的性质得出MO与BN的关系得出，AM的长，进而得出直线AD与⊙M的位置关系．
点评：此题主要考查了直角三角内切圆的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出MO与BN的关系是解题关键．