题目内容

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．
（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值；
（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．

解：（1）PC与PD的数量关系是相等．
证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．
∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．
∴∠1+∠CPN=90°，
而∠2+∠CPN=90°，
∴∠1=∠2．
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN；
∴PC=PD．

（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，
∴∠3=45°，

∵∠POD=45°，
∴∠3=∠POD．
又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；
如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP= $\text{[math]}$ -1．
分析：（1）PC与PD的数量关系是相等．如图过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N，根据OM是∠AOB的平分线可以得到PH=PN，又∠AOB=90°，易得∠HPN=90°，由此得到∠1+∠CPN=90°，最后得到∠1=∠2，现在可以证明△PCH≌△PDN，然后根据全等三角形的性质就可以证明PC=PD；
（2）根据（1）可以得到∠3=45°，而∠POD=45°，所以△POD∽△PDG，然后根据相似三角形的性质和已知条件就可以求出GD：OD的值；
（3）有两种情况．
①如图1所示，若PR与射线OA相交，根据以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似可以得到∠CEO=∠CDO，从而CE=CD，而OC⊥DE，所以OE=OD，而∠EPD=90°，则OP=1；
②如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，∵∠PDE＞∠EDC，可以证明△PDE∽△ODC，由此得到∠PDE=∠ODC．
∵∠OEC＞∠PED，∴∠PDE=∠HCP；而PH=PN，
∴Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，∴∠PDC=∠PCD=45°，
∴∠PDO=22.5°，
根据外角的性质可得：∠PED=∠PDO+∠PCD=67.5°，即∠POE+∠OPE=67.5°，
又∠POE=45°，∴∠QPE=22.5°，
∴∠PDO=∠OPE，
∵以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，
∴∠PDO=∠OCE，
∴∠OPE=∠OCE，
∴OP=OC．
设OP=x，则OH=ON= $\text{[math]}$ x，HC=DN=OD-ON=1- $\text{[math]}$ x；
而HC=HO+OC= $\text{[math]}$ x+x，即1- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x+x，
从而可得OP= $\text{[math]}$ -1．
点评：此题综合性比较强，把直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质都结合起来，利用它们探究图形变换的规律．