在矩形ABCD中.AB=6cm.BC=12cm.点P从点A出发.沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动.同时.点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P.Q两点在分别到达B.C两点后就停止移动.回答下列问题:(1)运动开始后第几秒时.△PBQ的面积等于8cm2?(2)当运动开始后$\frac{3}{2}$秒时.试判断△DPQ的形状,(3)在运动过程中.是否存在这样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）当运动开始后$\frac{3}{2}$秒时，试判断△DPQ的形状；
（3）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

分析（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）表示出$D{P}^{2}=\frac{585}{4}$，$P{Q}^{2}=\frac{117}{4}$，DQ²=117，进而得到PQ²+DQ²=DP²，得出答案；
（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP=QD，表示出QP²，QD²，列出等式，整理得到方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．

解答解：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm²，
则：BP=6-t，BQ=2t，
所以${S}_{△PBQ}=\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，即t²-6t+8=0，
可得：t=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm²．
（2）当t=$\frac{3}{2}$秒时，
AP=$\frac{3}{2}$，BP=6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，BQ=$\frac{3}{2}$×2=3，CQ=12-3=9，
∴在Rt△DAP中，$D{P}^{2}=D{A}^{2}+A{P}^{2}=1{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}=\frac{585}{4}$，
在Rt△DCQ中，DQ²=DC²+CQ²=6²+9²=117，
在Rt△QBP中，$Q{P}^{2}=Q{B}^{2}+B{P}^{2}={3}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}=\frac{117}{4}$，
∴$D{Q}^{2}+Q{P}^{2}=117+\frac{117}{4}=\frac{585}{4}$，
∴DQ²+QP²=DP²，
∴△DPQ为直角三角形；
（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP=QD，
∵OP²=PB²+BQ²=（6-x）²+（2x）²，
QD²=QC²+CD²=（12-2x）²+6²，
∴（12-2x）²+6²=（6-x）²+（2x）²，
整理，得：x²+36x-144=0，
解得：x=-18±6$\sqrt{13}$，
∵0＜6$\sqrt{13}$-18＜6，
∴运动开始后第6$\sqrt{13}$-18秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D．