题目内容
2．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为（ ）（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
| A． | $\frac{1}{n}$ | B． | $\frac{1}{n+1}$ | C． | $\frac{1}{2n+1}$ | D． | $\frac{1}{2n+2}$ |
分析 连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1=$\frac{1}{n+1}$，再根据$\frac{AB}{{D}_{1}{E}_{1}}$=$\frac{BM}{{ME}_{1}}$=$\frac{n+1}{n}$得出S△ABM：S△ABE1=n+1：2n+1，最后根据S△ABM：$\frac{1}{n+1}$=n+1：2n+1，即可求出S△ABM的值．
解答 解：如图，连接D1E1，
设AD1、BE1交于点M，
∵AE1：AC=1：n+1，
∴S△ABE1：S△ABC=1：n+1，
∴S△ABE1=$\frac{1}{n+1}$，
∵$\frac{AB}{{D}_{1}{E}_{1}}$=$\frac{BM}{{ME}_{1}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{BM}{{BE}_{1}}$=$\frac{n+1}{2n+1}$，
∴S△ABM：S△ABE1=n+1：2n+1，
∴S△ABM：$\frac{1}{n+1}$=n+1：2n+1，
∴S△ABM=$\frac{1}{2n+1}$．
故选C．
点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．
练习册系列答案
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