Question

如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，
（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；

（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线和等边三角形的性质可得AD=DC，∠ABD=30°，再由正弦定理可以证明DA+DC=DB；
（2）延长DA到E，使得∠EBD=60，由已知可知△EBD是一个等边三角形，再证明△EBD≌△CBD，得出EA=DC，从而证明BD=ED=EA+AD=DC+AD；
（3）可直接得DA，DC，DB的数量关系．

解答：证明：（1）点D只能在AC的下边，容易得到BD是AC的中垂线，因此AD=DC，∠ABD=30°，
在三角形内由正弦定理可以得到

AD

sin∠ABD

=

BD

sin∠BAD

，
可以很快得到BD=2AD=AD+AC；

（2）延长DA到E，使得ED=BD，
又因为∠ADB=60°
因此△EBD是一个等边三角形，
所以BE=ED=BD，∠EBD=60°，
又因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC，∠ABC=60°，
所以∠EBA=∠DBC，
在△EBA与△DBC中，
因为

BE=BD ∠EBA=∠DBC AB=BC

，
所以△ABE≌△CBD（SAS），
因此EA=DC，
所以BD=ED=EA+AD=DC+AD；

（3）DC＜DA+DB．

点评：本题综合考查了线段垂直平分线和等边三角形的性质，同时考查了正弦定理和全等三角形的判定与性质，由于等边三角形的特殊性第（2）题的结论在等边三角形的其它边同样适用．