Question

矩形ABCD中，AB=4，BC=8，作对角线AC的垂直平分线MN交AD、BC于M、N，则AM的长为

 

．

Answer 1

分析：根据矩形的性质得到∠ABC=90°，AD∥BC，根据勾股定理求出AC、OA的长，证△AMO∽△CAB，得出

AM

AC

=

AO

BC

，代入求出即可．

解答：解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，在△ABC中，AB=4，BC=8，由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=4

5

，
OA=OC=2

5

，
∴∠DAC=∠ACB，
∵对角线AC的垂直平分线MN，
∴∠MOA=∠B=90°，
∴△AMO∽△CAB，
∴

AM

AC

=

AO

BC

，
即：

AM

4 5

=

2 5

8

，
∴AM=5，
故答案为：5．

点评：本题主要考查对矩形的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，证出△AMO∽△CAB进一步得到比例式是解此题的关键．