Question

如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=4，AC=，点P在BC边上运动，PD∥AB，交AC于D．设BP的长为x，△APD的面积为y．
（1）求AD的长（用含x的代数式表示）；
（2）求y与x之间的函数关系式，并回答当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）点P是否存在这样的位置，使得△ADP的面积是△ABP面积的？若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵PD∥AB，
∴．
∵BC=4，AC=，BP的长为x，
∴．
∴；

（2）过点P作PE⊥AC于E．
∵sin∠ACB=，∠C=60°，
∴PE=PC×sin60°=（4-x）．
∴y=AD•PE=•x•（4-x）=-x²+x．
∴y与x之间的函数关系式为：y=-x²+x．
∴当x=2时，y的值最大，最大值是；

（3）点P存在这样的位置．
∵△ADP与△ABP等高不等底，
∴．
∵△ADP的面积是△ABP面积的，
∴．
∴．
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
答：（1）AD的长为x；
（2）y与x之间的函数关系式是y=-x²+x，当x等于2时，y的值最大，最大值是；
（3）存在这样的位置，BP的长是．
分析：（1）根据PD∥AB，利用平行线分线段成比例，可得，然后将已知数值代入即可．
（2）过点P作PE⊥AC于E．利用sin∠ACB=，∠C=60°，求得PE，然后即可求出y与x之间的函数关系式．
（3）根据△ADP与△ABP等高不等底，可得．根据△ADP的面积是△ABP面积的，可得=．再利用PD∥AB，可得△CDP∽△CAB．然后利用相似三角形对应边成比例即可求得BP．从而可得点P存在这样的位置．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，是一道典型的题目．