题目内容

如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=
3
2
，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．
（1）若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；
（2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点P的坐标；
（3）若点M（-4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）依题意得：B(2，
3
2
)．
∵OC=2，CE=
3
2
，∴E(-2，
3
2
)．
∵抛物线经过原点和点B、E，∴设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．
∵抛物线经过点B(2，
3
2
)，
∴
3
2
=4a．解得：a=
3
8
．
∴抛物线的解析式为y=
3
8
x2；

（2）∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（x，
3
8
x2）．
分两种情况：
（i）当△OQP∽△BEC时，则
PQ
CE
=
OQ
BE
，即
3
8
x2
3
2
=
x
4
，解得：x=1，
∴点P的坐标为（1，
3
8
）；
（ii）当△PQO∽△BEC时，则
PQ
BE
=
OQ
EC
，即
3
8
x2
4
=
x
3
2
，解得：x=
64
9
，
∴点P的坐标为（
64
9
，
512
27
）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P(1，
3
8
)或P(
64
9
，
512
27
)；

（3）存在．
因为线段M'B'和CD的长是定值，所以要使四边形M'B'CD的周长最短，只要使M'D+CB'最短．如果将抛物线向右平移，
显然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短，显然应该将抛物线y=
3
8
x2向左平移．
由题知M（-4，6）．
设抛物线向左平移了n个单位，则点M'和B′的坐标分别为M′（-4-n，6）和B′（2-n，
3
2
）．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B″（-n，
3
2
）．
要使M'D+CB'最短，只要使M'D+DB″最短．
点M′关于x轴对称点的坐标为M″（-4-n，-6）．
设直线M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），点D应在直线M″B″上，
∴直线M″B″的解析式为y=
6
n
x+
24
n

将B″（-n，
3
2
）代入，求得n=
16
5
．
故将抛物线向左平移
16
5
个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为y=
3
8
(x+
16
5
)2．
练习册系列答案
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已知：如图，斜坡PQ的坡度i=1：
3
，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
（1）写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
（2）求此抛物线AMC的解析式；
（3）求|xC-xB|；
（4）求B点与C点间的距离．
如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为（1，-
4
3
3
），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-
3
）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小？若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
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（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．
如图，抛物线经过A，C，D三点，且三点坐标为A（-1，0），C（0，5），D（2，5），抛物线与x轴的另一个交点为B点，点F为y轴上一动点，作平行四边形DFBG，
（1）B点的坐标为______；
（2）是否存在F点，使四边形DFBG为矩形？如存在，求出F点坐标；如不存在，说明理由；
（3）连结FG，FG的长度是否存在最小值？如存在求出最小值；若不存在说明理由；
（4）若E为AB中点，找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围：______．
已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=
2
3
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x2+
3
3
上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC．
（1）求证：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；
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（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少；
（3）能围出比45m2更大的花圃吗？若能，求出最大的面积；若不能，请说明理由．
如图，P为抛物线y=
3
4
x2-
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x+
1
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上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．
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（2）求m的值；
（3）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长．

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