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已知：如图，
三点在同一条直线上，
，
，
．
求证：
．（本题10分）
【解析】利用AAS求证全等
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【答案】
∵
∴
,
又∵
∴
，∵
（AAS），∴
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在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，
你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S
△ABD
=S
△ACD
，依据是
等底同高
等底同高
．
（2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形，
△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
．
（3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．
如图，已知C、D、E三点在同一直线上，∠1=105°，∠A=75°．
求证：AB∥CD．
证明一：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1+∠2=180°（平角定义），
∵∠1=105°，
∴∠2=75°
（邻补角的定义）
（邻补角的定义）
，
又∵∠A=75°，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD
内错角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
．
证明二：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1和∠A是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的同旁内角（同旁内角定义），
又∵∠A=75°，∠1=105°，
∴∠A+∠1=75°+105°=180°，
∴AB∥CD
同旁内角互补，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
．
（1）完成下面的证明：
已知：如图1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．
求证：∠EGF=90°．
证明：∵HG∥AB，（已知）
∴∠1=∠3． （
两直线平行，内错角相等
两直线平行，内错角相等
）
又∵HG∥CD，（已知）
∴∠2=∠4． （
两直线平行，内错角相等
两直线平行，内错角相等
）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠BEF+
∠EFD
∠EFD
=180°．（
两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，同旁内角互补
）
又∵EG平分∠BEF，（已知）
∴∠1=
1
2
∠
BEH
BEH
．（
角平分线定义
角平分线定义
）
又∵FG平分∠EFD，（已知）
∴∠2=
1
2
∠
EFD
EFD
．（
角平分线定义
角平分线定义
）
∴∠1+∠2=
1
2
（
∠BEH
∠BEH
+
∠EFD
∠EFD
）．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠3+∠4=90°．（
等量代换
等量代换
）．即∠EGF=90°．
（2）如图2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角呢？答：
∠B
∠B
；
小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图3，
①请你帮小明在图中画出这条高；
②在图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，你能帮小明把它们写出来吗？答：a
∠ACD与∠BCD
∠ACD与∠BCD
；b
∠A与∠ACD
∠A与∠ACD
；c
∠B与∠BCD
∠B与∠BCD
．
③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？把它们写出来，并请说明理由．
（3）在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成OA
1
B
1
，第二次将△OA
1
B
1
变换成△OA
2
B
2
，第三次将△OA
2
B
2
变换成△OA
3
B
3
，已知A（1，3），A
1
（2，3），A
2
（4，3），A
3
（8，3），B（2，0），B
1
（4，0），B
2
（8，0），B
3
（16，0）．
①观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA
3
B
3
变换成△OA
4
B
4
，则A
4
的坐标为
（16，3）
（16，3）
，B
4
的坐标为
（32，0）
（32，0）
．
②按以上规律将△OAB进行n次变换得到△A
n
B
n
，则可知A
n
的坐标为
（2
n
，3）
（2
n
，3）
，B
n
的坐标为
（2
n+1
，0）
（2
n+1
，0）
．
③可发现变换的过程中A、A
1
、A
2
、…、A
n
纵坐标均为
3
3
．
如图，已知
A
、
B
、
C
三点在一直线上，分别以
AB
、
BC
为边在
AC
同侧作等边三角形
ABD
和等边三角形
BCE
，
AE
交
BD
于点
F
，
DC
交
B
E
于点
G
，求证：
A
E
＝
DC
，
BF
＝
BG
．
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三点在同一条直线上，
，
，
．
．（本题10分）
∴
,
∴
，∵
（AAS），∴
三点在同一条直线上，，，．．（本题10分）∴, ∴，∵（AAS），∴
你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
如图，已知C、D、E三点在同一直线上，∠1=105°，∠A=75°．
