Question

如图（1）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分于∠BAC，交BD于点F。


【小题1】求证：EF+－ AC =AB
【小题2】点C₁从C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A₁从A出发，沿着BA的延长线运动，点C₁与点A₁的运动速度相同，当运点C₁停止运动时，另一动点A₁也随之停止运动。如图（2）A_1、F₁平分∠BA∠BA₁C_1，交BD于F₁，过点F₁作F₁E₁⊥A₁C_1，垂足为E₁，请猜想E₁ F₁， A₁C₁，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想
【小题3】在（2）的条件下，当A₁E₁=3，C₁E₁=2，求BD的长。

Answer 1

【小题1】过点F作FM⊥AB，RT△AMF≌△AEF  ∴AM＝AE  ∵∠ABE＝45°∴BM＝MF ∴AB＝EF+AC
【小题2】连接F₁C₁，过点F₁作F₁P⊥A₁B于P，F₁Q⊥BC于点Q
∵A₁F平分∠BA₁C₁∴E₁F₁=PF₁∴E₁F₁=PF₁=QF₁∵A₁F=A₁F∴RT△A₁E₁F₁≌RT△A₁PF₁∴A₁E₁=A₁P
同理QF₁=PF_1，∴E₁F₁=PF₁=QF₁∵A₁F=A₁F  RT△A₁E₁F₁≌RT△A₁PF₁∴A₁E₁=A₁P同理RT△QF₁C₁≌RT△E₁F₁C₁
C₁Q=C₁E₁∵A₁A=C₁C∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC=2AB∴PB=PF₁=QF₁=QB
∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁
∴2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁
∴E₁F₁+A₁C₁=AB
【小题3】设PB=X∴QB="X  "
∵A₁E₁=3；E₁C₁=2；A₁P=A₁E₁=3；QC₁=C₁E₁=2在RT△A₁BC₁中A₁B+BC₁=A₁C₁即（3+X）+（2+X）=5
∴X₁=1，X₂=-6（舍）∴PB=1，E₁F₁=1，∵A₁C₁=5∴AB=，BD=

解析