Question

【题目】如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）直接写出AB与AP所满足的数量关系：_____，AB与AP的位置关系：_____；

（2）将△ABC沿直线l向右平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，求证：AP=BQ；

（3）将△ABC沿直线l向右平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，试探究AP=BQ是否仍成立？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）AB=AP，AB⊥AP，已知AC⊥BC且AC=BC，可得△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAC=∠ABC=45°，根据已知条件易证∠PEF=45°，即可得∠BAP=90°，结论得证；（2）根据已知条件易证Rt△BCQ≌Rt△ACP，根据全等三角形的性质即可得结论；（3）结论仍成立，类比（2）方法证明即可．

试题解析：

（1）AB=AP；AB⊥AP；

证明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠ACB）=45°，

易知，△ABC≌△EFP，

同理可证∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP；

故答案为：AB=AP AB⊥AP

（2）证明：

∵EF=FP，EF⊥FP

∴∠EPF=45°．

∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠EPF=45°

∴CQ=CP

在 Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP （SAS）．

∴AP=BQ．

（3）AP=BQ成立，理由如下：

∵EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

∵AC⊥BC

∴∠CPQ=∠EPF=45°

∴CQ=CP

在 Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP （SAS）．

∴AP=BQ．