Question

如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若tan∠C=

1

2

，求弦MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME=

1

2

MN，再根据tan∠C=

1

2

可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案．

解答：解：（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴

OA

OC

=

OB

OD

，
即

OA

OA+AC

=

OB

OD

，
又OA=3，AC=2，
∴OB=3，
∴

3

3+2

=

3

OD

，
∴OD=5；

（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=

1

2

MN，
∵tan∠C=

1

2

，即

OE

CE

=

1

2

，
∴设OE=x，则CE=2x，
在Rt△OEC中，OC²=OE²+CE²，即5²=x²+（2x）²，解得x=

5

，
在Rt△OME中，OM²=OE²+ME²，即3²=（

5

）²+ME²，解得ME=2．
∴MN=4，
答：弦MN的长为4．

点评：本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．