Question

如图，抛物线y＝x²－x－12与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．

（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动。问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值．

Answer 1

（1）π；（2）t＝；（3）①不存在；②M（，－6），

解析试题分析：（1）由题意得△AOB为直角三角形，分别求得抛物线y＝x²－x－12与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据勾股定理求得AB的长，最后根据直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由AP＝2t，AQ＝15－t，易求得AC=12，再分△APQ∽△AOB与△AQP∽△AOB两种情况根据相似三角形的性质即可求得结果；
（3）①先求得直线AB的函数关系式为y＝x－12，设点M的横坐标为x，则M（x，x－12），N（x，x²－x－12），根据平行四边形的性质可得MN＝OB＝12，即可得到(x－12)－(x²－x－12)＝12 ，而此方程的△＜0，无实数根，故不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；
②由S_{四边形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN="72+" S_△ABN可得S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋，根据二次函数的性质即可求得结果.
（1）由题意得：A（9，0），B（0，－12）  
∴OA＝9，OB＝12，
∴AB＝15 
∴S＝π·()²＝π；
（2）AP＝2t，AQ＝15－t，易求AC=12，∴0≤t≤6
若△APQ∽△AOB，则＝．∴t＝．  
若△AQP∽△AOB，则＝．∴t＝＞6（舍去）． 
∴当t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
（3）直线AB的函数关系式为y＝x－12．   
设点M的横坐标为x，则M（x，x－12），N（x，x²－x－12）．
若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12
∴(x－12)－(x²－x－12)＝12
即x²－9x＋27＝0
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；
②∵S_{四边形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN="72+" S_△ABN
∵S_△AOB＝54，S_△OBN＝6x，S_△OAN＝·9·＝－2x²＋12x＋54
∴S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋
∴当x＝时，S_△ABN最大值＝ 
此时M（，－6），S_{四边形CBNA}最大=．
考点：二次函数的综合题
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的熟练掌握情况.