题目内容
【题目】（1）（学习心得）
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）（问题解决）
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，
BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）（问题拓展）
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
【答案】（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=
+3．
【解析】
试题
（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”可得∠BDC=
∠BAC=23°；
（2）如图2，由已知易得A、B、C、D在以BD的中点O为圆心，OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；
（3）如图3，由已知易得点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，这样即可得到∠EFC=∠DFC.
试题解析：
（1）如图1，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC=∠BAC=23°；
(2)证明：取BD中点O，连接AO、CO，
∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，
∴AO=BD=BO=DO，
同理：CO=BD，
∴AO=DO=CO=BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OB为半径的同一个圆上，
∴∠BAC=∠BDC=28°
(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，
∴∠EFC=∠DAC，
同理可得：∠DFC=∠CBE，
∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EFC=∠DFC.
