Question

如图，长方形ABCD中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．
（1）求长方形的长和宽；
（2）求m、a、b的值；
（3）当P点在AD边上时，求S与t的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由图象可知，CD的长度，当t=6时，S_△ABP=16，求出BC的长；
（2）当t=a时，S_△ABP=8，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t=b时，S_△ABP=4，从而求得b的值；
（3）设S=kt+b，根据函数图象是过点（8，16），（11，4），代入即可认得出答案．

解答：解：（1）从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变
即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位
∴CD=2（8-6）=4
∴AB=CD=4（2分）
当t=6时（点P运动到点C），S_△ABP=16
∴

1

2

AB•BC=16
∴

1

2

×4×BC=16
∴BC=8（4分）
∴长方形的长为8，宽为4．

（2）当t=a时，S_△ABP=8=

1

2

×16
即点P此时在BC的中点处
∴PC=

1

2

BC=

1

2

×8=4
∴2（6-a）=4
∴a=4（6分）
∵BP=PC=4
∴m=

BP

a

=

4

4

=1（7分）
当t=b时，S_△ABP=

1

2

AB•AP=4
∴

1

2

×4×AP=4，AP=2
∴b=13-2=11（9分）；

（3）当8≤t≤11时，S关于t的函数图象是过点（8，16），（11，4）的一条直线
可设S=kt+b
∴

8k+b=16 11k+b=4

∴

k=-4 b=48

∴S=-4t+48（8≤t≤11）（12分）
同理可求当11≤t≤13时S关于t的函数解析式
S=-2t+26（11≤t≤13）（14分）

点评：本题是一次函数的综合题，考查了学生观察图象的能力，用待定系数法求一次函数的解析式，是一道中考压轴题．